Европейская математическая олимпиада среди девочек (EGMO). 2013 год. Люксембург

Үшбұрыштың $BC$ қабырғасының созындысында $C$ нүктесінен кейін $CD=BC$ болатындай $D$ нүктесі, ал $CA$ қабырғасының созындысында $A$ нүктесінен кейін $AE=2CA$ болатындай $E$ нүктесі алынған. Егер $AD=BE$ болса, онда $ABC$ үшбұрышы тікбұрышты екенін дәлелдеңіз.

Комментарий/решение

Пусть прямая параллельная $AC$ и проходящая через точку $D$ пересекает прямую $AB$ в точке $X$.По теореме фалеса $AB=AX$ и $XD=2AC=AE$.Треугольники $BAE$ и $AXD$ равны по трем сторонам.Тогда $\angle BAC=\angle BXD=\angle BAE=180^\circ-\angle BAC\Rightarrow \angle BAC=90^\circ$

Заметим,что в треугольнике $\triangle EBD:EC-$медиана и $\dfrac{EA}{AC}=2$.Значит $A$-центр тяжести $\triangle EBD$ и $AD$ делит пополам $BE$.Пусть прямая $AD$ пересекает $BE$ в точке $M$.Тогда $BM=ME=\dfrac{BE}{2}=\dfrac{AD}{2}=AM$ откуда $\angle BAE=90^\circ$