Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2024-2025 учебный год, I тур заключительного этапа

У Андрея на огороде выросли кабачки, среди которых нет двух одинаковой массы. Андрей решил некоторое число самых маленьких взять себе, некоторое число самых маленьких из оставшихся отдать другу, а остальные — в рагу. При таком распределении себе он бы взял $10\%$ от общей массы, а другу досталось бы $50\%$. Только друг сказал, что ему не нужно столько кабачков. Тогда Андрей распределил кабачки по-другому, но по тому же принципу: некоторое число самых маленьких себе, из оставшихся некоторое число самых маленьких другу, остальное — в рагу. После этого у Андрея и у друга оказалось по $20\%$ общей массы кабачков. Какое наименьшее число кабачков могло вырасти на огороде у Андрея? ( А. Солынин )

Комментарий/решение

Ответ: $9$

Решение:

$1$ распредедение:

$10$%, $50$%, $40$%

$2$ распределение:

$10+10$%, $50-30=20$%, $40+20$%.

Значит, можно поделить кабачки на $5$ групп: $10$%, $10$%, $20$%, $20$%, $40$%

$40$% массы мы можем взять как $1$ кабачок, точно также как и $20$%, но тогда другую $20$% группу придется разбить на $2$ кабачка. Очевидно, что там, $1$ из кабачков меньше $10$%. Тогда группу $10$% тоже придется разбить на $2$ кабачка. Там точно также, $1$ из кабачков меньше $5$%. Тогда последняя группа будет содержать как минимум $3$ штуки, ведь каждый из них должен быть меньше $5$%. Тогда $3+2+2+1+1=9$

Пример:

$$(1x+4,2x+4,8x)+(4,9x+5,1x)+(9x+11x)+20x+40x=100x$$