Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2024-2025 учебный год, I тур заключительного этапа

Андрей өз бақшасына асқабақ өсірді. Олардың арасында салмағы бірдей екі асқабақ жоқ. Ол алдымен салмағы ең кіші бірнеше асқабақты өзіне, кейін қалғанынан салмағы ең кіші бірнешеуін досына, одан кейін қалғанының барлығын бұқтырмаға жібермекші болды. Сол кезде осындай бөліністе ол өзіне асқабақтардың жалпы салмағының $10\%$-ын, ал досына $50\%$-ын беруші еді. Бірақ досы оған сондай мөлшерде асқабақтың керек емес екендігін айтты. Содан соң Андрей басқа тәсілмен бөлуді ұйғарды, бірақ бәрібір сол қағиданы ұстанды: алдымен салмағы ең кіші бірнеше асқабақты өзіне, кейін қалғанынан салмағы ең кіші бірнешеуін досына, одан қалғанының барлығын бұқтырмаға жіберді. Бұл жолы Андрейде де, досында да асқабақтардың жалпы салмағының $20\%$-ы болды. Андрейдің бақшасында кем дегенде неше асқабақ өсуі мүмкін? ( А. Солынин )

Комментарий/решение

Ответ: $9$

Решение:

$1$ распредедение:

$10$%, $50$%, $40$%

$2$ распределение:

$10+10$%, $50-30=20$%, $40+20$%.

Значит, можно поделить кабачки на $5$ групп: $10$%, $10$%, $20$%, $20$%, $40$%

$40$% массы мы можем взять как $1$ кабачок, точно также как и $20$%, но тогда другую $20$% группу придется разбить на $2$ кабачка. Очевидно, что там, $1$ из кабачков меньше $10$%. Тогда группу $10$% тоже придется разбить на $2$ кабачка. Там точно также, $1$ из кабачков меньше $5$%. Тогда последняя группа будет содержать как минимум $3$ штуки, ведь каждый из них должен быть меньше $5$%. Тогда $3+2+2+1+1=9$

Пример:

$$(1x+4,2x+4,8x)+(4,9x+5,1x)+(9x+11x)+20x+40x=100x$$