Республиканская олимпиада по математике, 2025 год, 11 класс

Тең бүйірлі емес $ABC$ үшбұрышында $M$ нүктесі — $AB$ қабырғасының ортасы, $I$ — іштей сызылған шеңбер центрі, ал $J$ — $\triangle ABC$-ға сырттай сызылған шеңбердің $C$-ны қамтымайтын $AB$ доғасының ортасы. Центрі $J$ және радиусы $JM$ болатын шеңберге $IP$ және $IQ$ жанамалары жүргізілген (мұнда $A$ мен $P$ нүктелері $CI$ түзуінің бір жағында жатыр). $APJ$ және $BQJ$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер екінші рет $R$ нүктесінде қиылысады. $IP$ және $IQ$ түзулері $AB$ түзуін, сәйкесінше, $X$ және $Y$ нүктелерінде қияды. $MX_1$ және $MY_1$, сәйкесінше, $XMJ$ және $YMJ$ үшбұрыштарының биссектрисалары. $X_1, Y_1$ және $R$ нүктелері бір түзудің бойында жататынын дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин )