Республиканская олимпиада по математике, 2025 год, 11 класс

Кез келген $m,n\in \mathbb N$ сандары үшін $f(mf(n))+f(n)=f(nf(m)) + f(m)$ теңдігі орындалатындай барлық қатаң түрде өспелі $f:\mathbb N\to \mathbb N$ функцияларын табыңыз. (Бұл жерде $\mathbb N$ — натурал сандар жиыны.) ( Абу А. )

Комментарий/решение

Заметим что $\forall m>n$

$f(mf(n))+f(n)=f(nf(m))+f(m) > f(nf(m))+f(n) <=> f(mf(n))>f(nf(m)) =>> \dfrac{f(n)}{n} > \dfrac{f(m)}{m}$ отсюда $\dfrac{f(n)}{n}$ убывает. Также она ограничина снизу нулём. Отсюда у последовательности $(a_n)_{n \geq 1}$ где $a_n=\dfrac{f(n)}{n}$ есть предел,$\lim_{n \to \infty} a_n=c$, тогда зафиксируем $m$ и расмотрим $n \to \infty$:

$lim_{n \to \infty} \dfrac{f(mf(n))+f(n)}{n}= lim_{n \to \infty} \dfrac{f(n)}{n}+ lim_{n \to \infty} \dfrac{f(mf(n))}{mf(n)} \cdot m\dfrac{f(n)}{n}=c+c^2m.$

С другой стороны:

Заметим что $lim_{n \to \infty} \dfrac{f(m)}{n}=0 =>> lim_{n \to \infty} \dfrac{f(nf(m))}{nf(m)} \cdot f(m)=f(m) \cdot c =>> f(m)=cm+1$ для какой-то константы $c \geq 0$. Проверяем и понимаем что подходит

Почему при $n$ стремящийся к бесконечности $mf(n)$ стремится к бесконечности.

Ну потому что $f$ возрастает ???

А ок