Областная олимпиада по математике, 2008 год, 10 класс

Докажите, что существует бесконечное число натуральных значений $n$, для каждого из которых $n!$ делится нацело на $n^2+1$.

Комментарий/решение

Наша цель заключается в том что бы доказать что есть бесконечное количество натуральных чисел являющихся значениями n, для каждого из которых n! нацело делится на n² + 1.

Приступим к решению:

Например: Возьмем n как цифру 5, тогда n! = 1×2×3×4×5=120, а n² + 1 = 5² + 1=26, таком случае n! / n²+1 = 120/26 = 4.615384...

Еще как пример можно взять 4, в таком случае n!/n²+1 = 24/17 =1.411...

Таким образом через 2 простейших примера можно доказать что НЕТ бесконечного количества натуральных значений для n, для каких n! нацело делилось бы на n²+1

ЕСТЬ

Ардақ ағай сходит с ума

" $\frac{n}{2}$ мәні бүтін болатындай шексіз көп натурал n саны табылатынын дәлелдеңіз" деген есепті қарастырайық.

Қарапайым ғана 2 мысал қарастырайық.

$n=1$ болса, $\frac{n}{2}=\frac{1}{2}=0,5$- бүтін емес.

$n=3$ болса, $\frac{n}{2}=\frac{3}{2}=1,5$- бүтін емес.

Демек, осы қарапайым ғана екі мысал арқылы $\frac{n}{2}$ мәні бүтін болатындай шексіз көп натурал n саны жоқ екенін дәлелдедік :)