Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Областная олимпиада по математике, 2025 год, 10 класс


ω шеңберіне дұрыс ABCDEF алтыбұрышы іштей сызылған. t1 және t2 түзулері AD түзуіне параллель және ω-ны, сәйкесінше, G және H нүктелерінде жанайды. GH түзуі BC және EF-ті, сәйкесінше, I және J нүктелерінде қияды. t3 түзуі ω-ны жанап, t1 және t2 түзулерін, сәйкесінше, K және L нүктелерінде қияды. KH және LG түзулері M нүктесінде қиылысады. MI+MJ=GH екенін дәлелдеңіз. ( А. Васильев )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
2 месяца 28 дней назад #

1) Пусть t3 касается ω в N, если O центр ω, отметим что NM || t1||t2 так как KNLN=KMHM (1) но KN=KG,LN=LH значит (1) есть KGLH=KMHM что верно из подобия LHM,KMG.

Так же HNG=90 и LOK=90 так как ONt3 и из вписанности ONGK получается NGO=NKO значит треугольники NOK,NGT (2) подобны.

2) Пусть TNMGH или NTGH тогда если OT=x, ON=y, LN=a, KN=b, по известному свойству в прям-м треугольнике LOK выходит y2=ab и из (2) получается NTNO=GTKN или y2x2y=y+xb решая в совокупности : a=yy2x2x+y, b=y(x+y)y2x2 а так же MT=NT2=y2x22 следует из NT ||t1 ||t2.

3) MJ,MI можно найти через т. Пифагора из прям-х треугольников MJT,MTI зная что EOJ=30 откуда JO=3y2,JT=3y2x,IT=3y2+x

Которые будут равны после преобразований MJ=2y3x2, MI=2y+3x2 или MI+MJ=2y=GH.