Областная олимпиада по математике, 2025 год, 10 класс
Комментарий/решение:
1) Пусть t3 касается ω в N, если O центр ω, отметим что NM || t1||t2 так как KNLN=KMHM (1) но KN=KG,LN=LH значит (1) есть KGLH=KMHM что верно из подобия LHM,KMG.
Так же ∠HNG=90∘ и ∠LOK=90∘ так как ON⊥t3 и из вписанности ONGK получается ∠NGO=∠NKO значит треугольники NOK,NGT (2) подобны.
2) Пусть T∈NM∩GH или NT⊥GH тогда если OT=x, ON=y, LN=a, KN=b, по известному свойству в прям-м треугольнике LOK выходит y2=ab и из (2) получается NTNO=GTKN или √y2−x2y=y+xb решая в совокупности : a=y√y2−x2x+y, b=y(x+y)√y2−x2 а так же MT=NT2=√y2−x22 следует из NT ||t1 ||t2.
3) MJ,MI можно найти через т. Пифагора из прям-х треугольников MJT,MTI зная что ∠EOJ=30∘ откуда JO=√3y2,JT=√3y2−x,IT=√3y2+x
Которые будут равны после преобразований MJ=2y−√3x2, MI=2y+√3x2 или MI+MJ=2y=GH.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.