Областная олимпиада по математике, 2025 год, 9 класс
Комментарий/решение:
Пусть мы имеем числа a1>a2>...>a1014 Тогда очевидно что:
a1∗a2>a1∗a3>...>a1∗a1014>a1014∗a2>...>a1014∗a1013
Значит у нас хотябы 1013+1013−1=2025 различных чисел
Пример: 31;32;....;31014
Ответ: 2025
Докажем задачу по индукции
Наше предположение - для любого n вида 2k, если в файле A - n чисел, то в файле B, - 4k-3 числа минимум.
База вполне очевидна для 2 чисел - в файле B - 1 число
Переход
Докажем что если для 2k, все хорошо, то и для 2k+2 все хорошо.
Возьмем наши 2k+2 числа и давайте их упорядочим
a2k+2>a2k+1>a2k>a2k−1>...>a1
Тогда для чисел a2k,...,a1, все работает, то есть там будет 4k−3 числа что они все разные. Причем максимальное из них = a2ka2k−1
Тогда с нашими a2k+2,a2k+1 найдем еще 4 произведения
1)a2k+2a2k+1, его точно раньше не было, так как a2k+2a2k+1>a2ka2k−1
2)a2k+2a2k, оно не равно первому так как все ai разные и также удовлетворяет неравенству a2k+2a2k>a2ka2k−1
3)a2k+1a2k, оно не равно первому и второму, так как все ai разные и также удовлетворяет неравенству a2k+1a2k>a2ka2k−1
4)a2k+1a2k−1, оно меньше первого второго и третьего тк
a2k+2a2k+1>a2k+1a2k−1
a2ka2k+1>a2k+1a2k−1
a2k+2a2k>a2k+1a2k−1
А также a2k+1a2k−1>a2ka2k−1
Тогда данные 4 числа будут новыми 4мя. Ну раз постоянно появляется минимум 4, то для 2k+2, будет минимум 4k+1 разных произведений. Ну все, просто строим пример -
1,2,4...,22k−1
Всего здесь произведений
2,4,...,24k−3
как раз 4k−3
Тогда для 1014 ответ - 2025
А файлында a1 > a2 > … > an болатындай a1, a2, … , an сандары болсын. (Где n = 1014) ⇒ a1a2 > a1a3 > a1a4>…>a1an>a2an>a3an>…>an−1an теңсіздіктері орындалады. Поэтому в файле В есть как минимум 2n−3 число. Мысалға А файлында {20, 21, 22, … 2n−1} сандары бар деп алайық. Сонда В файлында 2n−3 сан болады олар 21, 22, … , 22n−3 сандары олардан басқа жоқ значит 2025 ответі.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.