Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2024-2025 учебный год, III тур дистанционного этапа

Сторона $BC$ выпуклого четырехугольника $ABCD$ видна из середины $M$ его стороны $AD$ под углом $90^\circ$. Биссектрисы треугольника $BMC$ пересекаются в точке $I$. Известно, что $\angle ABM = \angle MIC$ и $\angle BIM = \angle MCD$. Докажите, что $AI = DI$. ( А. Кузнецов )