Районная олимпиада, 2024-2025 учебный год, 10 класс

Обозначим через $G(x,y)=\sqrt{xy}$ и через $H(x,y)=\frac{2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}$ среднее геометрическое и среднее гармоническое положительных чисел $x$, $y$, соответственно. В прямоугольном треугольнике из прямого угла опущены высота, биссектриса и медиана длины $h$, $b$ и $m$, соответственно. Докажите, что $G(h,H(h,m))=b$.

Комментарий/решение

10 сынып

Дәлелдеуі: Тікбұрышты үшбұрыштың катеттерін а және в , ал гипотенузасын с деп белгілейік

1) $m_c=\ \frac{1}{2}c$ , $h_c=\ \frac{ab}{c}\ $ b = $l_c=\ \frac{\sqrt{2}\ ab}{a+b}$

2) $H\left(h,m\right)=\ \frac{2}{\frac{1}{h}\ +\frac{1}{m}\ }$ G(h, H (h , m)) = $\sqrt{hH(h\ ,\ m)}$ = $\frac{h\sqrt{2m}}{\sqrt{m+h}}$

3) $\frac{\frac{ab}{c}*\sqrt{2*\frac{1}{2}c}}{\sqrt{\frac{1}{2}c+\frac{ab}{c}\ }}$ = $\frac{ab}{\sqrt{c}}*\frac{\sqrt{2\ }\ \sqrt{c}}{a+b}$ =$\frac{\sqrt{2}\ ab}{a+b}$