Районная олимпиада, 2024-2025 учебный год, 10 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. 50 шаров пронумеровали числами от 1 до 5.
   а) Можно ли разложить их в 10 коробок таким образом, чтобы в каждой коробке был шар с номером, равным количеству шаров в коробке (включая его самого)?
   б) Можно ли разложить их в 9 коробок таким образом, чтобы в каждой коробке был шар с номером, равным количеству шаров в коробке (включая сам этот шар)?
комментарий/решение(2)

---

Задача №2. Обозначим через $G(x,y)=\sqrt{xy}$ и через $H(x,y)=\frac{2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}$ среднее геометрическое и среднее гармоническое положительных чисел $x$, $y$, соответственно. В прямоугольном треугольнике из прямого угла опущены высота, биссектриса и медиана длины $h$, $b$ и $m$, соответственно. Докажите, что $G(h,H(h,m))=b$.
комментарий/решение(1)

---

Задача №3. а) Решите уравнение $\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{xy}$ в целых числах $x$, $y$.
   б) Разрешимо ли уравнение $\sqrt{x+20}+\sqrt{y+25}=\sqrt{xy+2025}$ в целых числах
комментарий/решение(2)

---