Районная олимпиада, 2024-2025 учебный год, 10 класс

50 шаров пронумеровали числами от 1 до 5.
   а) Можно ли разложить их в 10 коробок таким образом, чтобы в каждой коробке был шар с номером, равным количеству шаров в коробке (включая его самого)?
   б) Можно ли разложить их в 9 коробок таким образом, чтобы в каждой коробке был шар с номером, равным количеству шаров в коробке (включая сам этот шар)?

Комментарий/решение

а) Нет, нельзя

Рассмотрим минимальные значения в каждой коробке и сложим: 1+2+3+…+9+10= 11/2 * 10 =55. А у нас 50 шаров, противоречие.

б) Да, можно

Точно также рассмотрим минимальные значения в каждой из 9 коробок выходит 45 шаров. Пример:

№1 коробка: Шар №1

№2 коробка: Шар №2, №50.

№3 коробка: Шар №3, №49, №50

№4 коробка: шар №4, №48, 47, 46

№5 коробка: шар №5, 45,44,43;42.

№6 коробка: шар №6, 41,40,39,38,37.

№7 коробка: шар № 7,36,35,34,33,32,31,11,12,13,14

№8 коробка: шар №8, 30,29,28,26,25,24,23

№9 коробка: шар №9,22,21,20,19,18,17,16,15.

Сумма в 10 коробок равен 55 что больше чем 50 а в 9 коробок 45 что меньше 50 так что можно