Районная олимпиада, 2024-2025 учебный год, 10 класс

50 шарды 1-ден 50-ге дейінгі сандармен нөмірледі.
   а) Оларды әр қорапта шарлардың санына тең нөмірлі шар (өзін санағанда) болатындай етіп 10 қорапқа салуға бола ма?
   б) Оларды әр қорапта шарлардың санына тең нөмірлі шар (өзін санағанда) болатындай етіп 9 қорапқа салуға бола ма?

Комментарий/решение

а) Нет, нельзя

Рассмотрим минимальные значения в каждой коробке и сложим: 1+2+3+…+9+10= 11/2 * 10 =55. А у нас 50 шаров, противоречие.

б) Да, можно

Точно также рассмотрим минимальные значения в каждой из 9 коробок выходит 45 шаров. Пример:

№1 коробка: Шар №1

№2 коробка: Шар №2, №50.

№3 коробка: Шар №3, №49, №50

№4 коробка: шар №4, №48, 47, 46

№5 коробка: шар №5, 45,44,43;42.

№6 коробка: шар №6, 41,40,39,38,37.

№7 коробка: шар № 7,36,35,34,33,32,31,11,12,13,14

№8 коробка: шар №8, 30,29,28,26,25,24,23

№9 коробка: шар №9,22,21,20,19,18,17,16,15.

Сумма в 10 коробок равен 55 что больше чем 50 а в 9 коробок 45 что меньше 50 так что можно