Районная олимпиада, 2024-2025 учебный год, 10 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1. 50 шарды 1-ден 50-ге дейінгі сандармен нөмірледі.
   а) Оларды әр қорапта шарлардың санына тең нөмірлі шар (өзін санағанда) болатындай етіп 10 қорапқа салуға бола ма?
   б) Оларды әр қорапта шарлардың санына тең нөмірлі шар (өзін санағанда) болатындай етіп 9 қорапқа салуға бола ма?
комментарий/решение(2)

---

Есеп №2. $G(x,y)=\sqrt{xy}$ және $H(x,y)=\frac{2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}$ арқылы $x$ және $y$ оң сандарының геометриялық және гармониялық орталарын белгілейік. Тікбұрышты үшбұрыштың тік бұрышынан ұзындығы $h$, $b$ және $m$ болатын биіктік, биссектриса және медиана түсірілген. $G(h,H(h,m))=b$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №3. а) $\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{xy}$ теңдеуін $x$, $y$ бүтін сандарда шешіңіз.
   б) $\sqrt{x+20}+\sqrt{y+25}=\sqrt{xy+2025}$ теңдеуінің $x$, $y$ бүтін сандарда шешімі бар ма?
комментарий/решение(1)

---