7-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 6-7 класс, 3 (командный) тур

Действительные числа $a,b,c$ удовлетворяют равенствам $${{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=a+b+c=1.$$ Докажите, что среди $a,b,c$ есть число 0.

Комментарий/решение

$1^2 = (a + b+ c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + ac +bc)$ $\Rightarrow$ $ab + ac + bc = 0$

$1 = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2) = a^3 + b^3 + c^3 + ab^2 + ac^2 + a^2b + bc^2 + a^2c + b^2c = 0$ $\Rightarrow$ $ab^2 + ac^2 + a^2b + bc^2 + a^2c + b^2c = 0$

$1 \cdot 0 = (a + b + c)(ab + ac + bc) = ab^2 + ac^2 + a^2b + bc^2 + a^2c + b^2c + 3abc = 0$ $\Rightarrow$ $3abc = 0$