7-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 6-7 класс, 3 (командный) тур

В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ выполнены равенства $AB=BC=CD$ и $\angle ABC+\angle BCD=240^\circ$. Найдите угол $CAD$.

Комментарий/решение

Пусть $\angle ABC =2 \alpha \Rightarrow \angle BCD = 240^\circ - 2\alpha$.Проведем диагонали $AC,BD$и пусть они пересекаются в точке $O$.Так как $AB=BC=CD$ то $\angle DBC=\angle BDC=\alpha-30^\circ$ и $\angle BAC=\angle BCA=90^\circ-\alpha$

$\angle BOC=180^\circ-(90^\circ-\alpha)-(\alpha-30^\circ)=120^\circ=\angle AOD$.Продолжим $AB,CD$ так чтобы они пересекались в точке $E$.$\angle BAD+\angle ADC=360^\circ-240^\circ=120^\circ \Rightarrow \angle BED=180^\circ-120^\circ=60^\circ$.Опишем вокруг $\triangle AED$ окружность.Заметим что $\angle AOD$ вдвое больше вписанного угла $\angle AED$.Значит центром этой окружности будет точка $O \Rightarrow AO=OD,\angle CAD=30^\circ$