Районная олимпиада, 2012-2013 учебный год, 9 класс

Рассмотрим параллелограмм $ABCD$.
а) Верно ли, что если центр вписанной окружности треугольника $ABC$ лежит на диагонали $BD$, то $ABCD$ — ромб?
б) Верно ли, что если центр описанной окружности треугольника $ABC$ лежит на диагонали $BD$, то $ABCD$ — ромб?

Комментарий/решение

а) Пусть т. $O$ — центр вписанной окружности, тогда $O \in BD$, значит $BD$ — биссектриса, но $BD$ есть медиана, тогда $BD$ — высота, значит $ABCD$ — ромб.

б) Пусть т. $O$ — центр описанной окружности, тогда $O \in BD$, значит $BD$ — серединный перпендикуляр, и $ABCD$ — ромб.