Математикадан аудандық олимпиада, 2012-2013 оқу жылы, 9 сынып

$ABCD$ параллелограммын қарастырайық.
а) Егер $ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбердің центрі $BD$ диагоналында жатса, онда $ABCD$ ромб болатыны шын ба?
б) Егер $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің центрі $BD$ диагоналында жатса, онда $ABCD$ ромб болатыны шын ба?

Комментарий/решение

а) Пусть т. $O$ — центр вписанной окружности, тогда $O \in BD$, значит $BD$ — биссектриса, но $BD$ есть медиана, тогда $BD$ — высота, значит $ABCD$ — ромб.

б) Пусть т. $O$ — центр описанной окружности, тогда $O \in BD$, значит $BD$ — серединный перпендикуляр, и $ABCD$ — ромб.