Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 8 класс, 2024 год

Мальчик купил себе калькулятор, на котором есть кнопка <<$4x-1$>>, при нажатии на которую число $x$ заменяется на $4x-1$ (например, если ввести $5$ и нажать на эту кнопку, то результатом будет число $19$). Мальчик ввёл некоторое простое число, а затем сколько-то раз нажал на эту кнопку. Каждый раз результат оказывался простым числом. Какое наибольшее число раз мальчик мог нажать на эту кнопку?

Комментарий/решение

Если $x \equiv 0 \pmod {3}$,т.е. $x=3$(так как это единственное простое число делющиеся на 3),то после первого нажатия калькулятор покажет $11$, а после второго $43$,в после третьего $171$,что не является простым.В данном случае макс.нажатий $2$

Если $x \equiv 1 \pmod {3}$,то после первого нажатия покажет $4x-1 \equiv 4-1 =3 \equiv 0 \pmod{3}$,значит $4x-1$ делится на$ 3$,а единственное простое число делющиеся на $3$ это $ 3$.Значит $4x-1=3 $,откуда $ x=1$,но $1 $ это не простое число ,значит этот вариант не максимальный.

Если $x \equiv 2 \pmod {3}$,то $4x-1 \equiv 4*2-1=7 \equiv 1 \pmod{3}$ , значит после первого нажатия число(может быть простым,а может и не быть) дает остаток $1$ при деление на $3$.Если еще раз нажмем на кнопку ,то получим не простое число,значит здесь максимум $1$ нажатие.

Ответ: при $x=3$ можно нажать $2$ раза.

Ответ:2

Х->4х-1->16х-5->64х-21

Если число х=3 тогда ответ 2.

Если число дает остаток 1 при деления на 3.Тогда 4х-1 делится на 3 тогда ответ 0.

Если число дает остаток 2 при деления на 3 тогда 16х-5 будет делится на 3 тогда ответ 1.

Нам нужен максимальный ответ из за этого ответ:2