Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 8 класс, 2024 год

Положительные числа $a,b,c,d$ таковы, что все числа $$ab,bc,cd,da,ac,bd,abc,abd,acd,bcd,abcd$$ являются целыми. Верно ли, что хотя бы одно из чисел $a,b,c,d$ всегда является целым?

Комментарий/решение

$a=\frac{p_1*p_2*p_3}{p_4}$

$b=\frac{p_1*p_2*p_4}{p_3}$

$c=\frac{p_1*p_4*p_3}{p_2}$

$d=\frac{p_4*p_2*p_3}{p_1},$

Где $ p_1,p_2,p_3,p_4- $ простые числа.Понятно что ни один из первоначальных чисел не целое,значит ответ:нет

Можно просто рассмотреть, например, числа $\frac{2*3*5}{7}$ $=$ $\frac{30}{7}$, $\frac{2*3*7}{5}$ $=$ $\frac{42}{5}$, $\frac{2*5*7}{3}$ $=$ $\frac{70}{3}$, $\frac{3*5*7}{2}$ $=$ $\frac{105}{2}$. Легко заметить, что эти числа нецелые и удовлетворяют условиям задачи. Из этого следует то что ответ: Нет.