Международная олимпиада 2024, Бат, Великобритания, 2024 год

Пусть $\mathbb{Q}$ — множество всех рациональных чисел. Функция $f: \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q}$ называется смежной, если выполнено следующее условие: для любых $x, y \in \mathbb{Q}$ имеем $$ f(x+f(y))=f(x)+y \quad \text{ или } \quad f(f(x)+y)=x+f(y).$$ Докажите, что существует целое число $с$ такое, что для любой смежной функции $f$ имеется не более $c$ различных рациональных чисел вида $f(r)+f(-r)$ для какого-то рационального $r$, и найдите наименьшее возможное значение $c$.

Комментарий/решение

Ответ: $\: \boxed{c \: = \: 2}$

\[ \]

Назовем число $\: x\: $ смежным к $\: y \: ,$ если выполняется$:$

\[P(x,y) \rightarrow f(x+f(y)) = f(x)+y \left ( \star \right )\]

\[\]

Утверждение 1: $\: f \: - \:$ инъективная

\[\]

$f(x_1) = f(x_2) = x \quad$ Б.О.О. $ \: x_2 \:$ смежный к $\: x_1$

$P(x_2,x_2) - P(x_2,x_1): \rightarrow x_1= x_2 \quad \blacksquare$

\[\]

Утверждение 2: $\: f(r)+f(-r) \:$ принимает не более чем одно ненулевое значение

\[ \]

$x \: - $ смежное к $\: y \: $

$P(x+f(y), -y ):$

$$(\mathbb{i}) \quad f(x + f(y) - f(y)) = f(x + f(y)) -y$$

$$(\mathbb{ii}) \quad f(f(x+f(y))-y)= x + f(y)+f(-y)$$

\[\]

$(\mathbb{i}) + \left ( \star \right ) \quad f(x + f(y) +f(-y) ) = f(x) \rightarrow f(y)+f(-y) = 0$

$(\mathbb{ii}) + (\star) \quad f(f(x))-x = f(y) + f(-y)$

\[ \]

$f(y_1)+f(-y_1) \ne 0, \quad f(y_2)+f(-y_2) \ne 0$

Осталось доказать что существует $\:x \:$ смежный для них обоих

\[\]

Заметим что число смежно с самим собой и что одно из двух чисел смежно с другим $\quad \blacksquare$

\[\]

Пример функции для которой $\: c=1 \: $ не удовлетворяет условию$:$

$f \equiv 2 \lfloor x \rfloor - x$