Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Международная олимпиада 2024, Бат, Великобритания, 2024 год


Q — барлық рационал сандар жиыны болсын. Егер кез келген x,yQ үшін f(x+f(y))=f(x)+y немесе f(f(x)+y)=x+f(y) теңдігі орындалса, онда f:QQ функциясын іргелес функция деп атаймыз. Кез келген іргелес f функциясы үшін, қандай да бір рационал r саны үшін f(r)+f(r) түрінде келетін әртүрлі сандар саны c-дан аспайтындай бүтін c саны табылатынын дәлелдеңіз, әрі осындай c санының ең кіші мүмкін мәнін табыңыз.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   3
8 месяца 19 дней назад #

Ответ: c=2

Назовем число x смежным к y, если выполняется:

P(x,y)f(x+f(y))=f(x)+y()

Утверждение 1: f инъективная

f(x1)=f(x2)=x Б.О.О. x2 смежный к x1

P(x2,x2)P(x2,x1):→x1=x2

Утверждение 2: f(r)+f(r) принимает не более чем одно ненулевое значение

x смежное к y

P(x+f(y),y):

(i)f(x+f(y)f(y))=f(x+f(y))y

(ii)f(f(x+f(y))y)=x+f(y)+f(y)

(i)+()f(x+f(y)+f(y))=f(x)f(y)+f(y)=0

(ii)+()f(f(x))x=f(y)+f(y)

f(y1)+f(y1)0,f(y2)+f(y2)0

Осталось доказать что существует x смежный для них обоих

Заметим что число смежно с самим собой и что одно из двух чисел смежно с другим

Пример функции для которой c=1 не удовлетворяет условию:

f2xx

  10
3 месяца 20 дней назад #