Международная олимпиада 2024, Бат, Великобритания, 2024 год
Q — барлық рационал сандар жиыны болсын. Егер кез келген x,y∈Q үшін f(x+f(y))=f(x)+y немесе f(f(x)+y)=x+f(y) теңдігі орындалса, онда f:Q→Q функциясын іргелес функция деп атаймыз. Кез келген іргелес f функциясы үшін, қандай да бір рационал r саны үшін f(r)+f(−r) түрінде келетін әртүрлі сандар саны c-дан аспайтындай бүтін c саны табылатынын дәлелдеңіз, әрі осындай c санының ең кіші мүмкін мәнін табыңыз.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Ответ: c=2
Назовем число x смежным к y, если выполняется:
P(x,y)→f(x+f(y))=f(x)+y(⋆)
Утверждение 1: f− инъективная
f(x1)=f(x2)=x Б.О.О. x2 смежный к x1
P(x2,x2)−P(x2,x1):→x1=x2◼
Утверждение 2: f(r)+f(−r) принимает не более чем одно ненулевое значение
x− смежное к y
P(x+f(y),−y):
(i)f(x+f(y)−f(y))=f(x+f(y))−y
(ii)f(f(x+f(y))−y)=x+f(y)+f(−y)
(i)+(⋆)f(x+f(y)+f(−y))=f(x)→f(y)+f(−y)=0
(ii)+(⋆)f(f(x))−x=f(y)+f(−y)
f(y1)+f(−y1)≠0,f(y2)+f(−y2)≠0
Осталось доказать что существует x смежный для них обоих
Заметим что число смежно с самим собой и что одно из двух чисел смежно с другим ◼
Пример функции для которой c=1 не удовлетворяет условию:
f≡2⌊x⌋−x
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.