Processing math: 18%

Международная олимпиада 2024, Бат, Великобритания, 2024 год


Задача №1. Найдите все действительные числа α такие, что для любого положительного целого n целое число [α]+[2α]++[nα] кратно n. (Здесь [z] обозначает наибольшее целое число, не превосходящее z. Например, [π]=4 и [2]=[2,9]=2.)
комментарий/решение(4)
Задача №2. Найдите все пары (a,b) положительных целых чисел, для которых существуют такие положительные целые g и N, что НОД(an+b,bn+a)=g для всех целых чисел n. (Здесь НОД (x, y) обозначает наибольший общий делитель целых чисел x и y.)
комментарий/решение(2)
Задача №3. Даны бесконечная последовательность положительных целых чисел a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots и положительное целое число N. Известно, что для любого n>N число a_{n} равно количеству раз, которое число a_{n-1} встречается среди a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n-1}. Докажите, что хотя бы одна из последовательностей a_{1}, a_{3}, a_{5}, \ldots и a_{2}, a_{4}, a_{6}, \ldots является в конечном итоге периодической. (Последовательность b_{1}, b_{2}, b_{3}, \ldots называется в конечном итоге периодической, если существуют такие положительные целые числа p и M, что b_{m+p}=b_{m} для всех m \geqslant M.)
комментарий/решение(5)
Задача №4. Пусть A B C — треугольник, в котором AB < AC < BC. Пусть \omega — вписанная в треугольник A B C окружность, а I — ее центр. Пусть X — такая точка на прямой B C, отличная от C, что прямая, проходящая через X параллельно A C, касается \omega. Аналогично, пусть Y — такая точка на прямой B C, отличная от B, что прямая, проходящая через Y параллельно A B, касается \omega. Пусть A I пересекает описанную около треугольника A B C окружность второй раз в точке P \neq A. Пусть K и L — середины сторон A C и A B соответственно. Докажите, что \angle K I L+\angle Y P X=180^{\circ}.
комментарий/решение(5)
Задача №5. Улитка Турбо играет на доске, имеющей 2024 ряда и 2023 столбца, в следующую игру. В 2022 клетках доски прячутся монстры. Изначально Турбо не знает, где находится какой-либо из монстров, но она знает, что в каждом ряду, кроме первого и последнего, есть ровно один монстр и что в каждом столбце находится не более одного монстра.
   Турбо делает серию попыток, чтобы пройти из первого ряда в последний. При каждой попытке она может выбрать в качестве начальной любую клетку в первом ряду, а затем совершает серию перемещений из клетки в соседнюю клетку, имеющую общую сторону. (Ей разрешается возвращаться в ранее посещенные клетки.) Если она посещает клетку с монстром, то её попытка завершается, и она переносится обратно в первый ряд, чтобы начать новую попытку. Монстры не двигаются, а Турбо запоминает, есть ли в каждой посещенной ею клетке монстр. Если она достигнет любой клетки в последнем ряду, её попытка завершается, и игра оканчивается.
   Определите минимальное значение n такое, что у Турбо есть стратегия, которая, независимо от местонахождений монстров, гарантирует достижение последней строки за n попыток или раньше.
комментарий/решение(1)
Задача №6. Пусть \mathbb{Q} — множество всех рациональных чисел. Функция f: \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q} называется смежной, если выполнено следующее условие: для любых x, y \in \mathbb{Q} имеем f(x+f(y))=f(x)+y \quad \text{ или } \quad f(f(x)+y)=x+f(y). Докажите, что существует целое число с такое, что для любой смежной функции f имеется не более c различных рациональных чисел вида f(r)+f(-r) для какого-то рационального r, и найдите наименьшее возможное значение c.
комментарий/решение(2)
результаты