Международная олимпиада 2024, Бат, Великобритания, 2024 год

Задача №1. Найдите все действительные числа $\alpha$ такие, что для любого положительного целого $n$ целое число $$[\alpha] +[ 2\alpha] +\cdots +[ n\alpha]$$ кратно $n$. (Здесь $[z]$ обозначает наибольшее целое число, не превосходящее $z$. Например, $[-\pi]=-4$ и $[2]=[2,9]=2$.)
комментарий/решение(4)

Задача №2. Найдите все пары $(a, b)$ положительных целых чисел, для которых существуют такие положительные целые $g$ и $N$, что $$ \text{НОД}\left(a^{n}+b, b^{n}+a\right)=g$$ для всех целых чисел $n \geqslant N$. (Здесь НОД $(x, y)$ обозначает наибольший общий делитель целых чисел $x$ и $y$.)
комментарий/решение(2)

Задача №3. Даны бесконечная последовательность положительных целых чисел $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$ и положительное целое число $N$. Известно, что для любого $n>N$ число $a_{n}$ равно количеству раз, которое число $a_{n-1}$ встречается среди $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n-1}$. Докажите, что хотя бы одна из последовательностей $a_{1}, a_{3}, a_{5}, \ldots$ и $a_{2}, a_{4}, a_{6}, \ldots$ является в конечном итоге периодической. (Последовательность $b_{1}, b_{2}, b_{3}, \ldots$ называется в конечном итоге периодической, если существуют такие положительные целые числа $p$ и $M$, что $b_{m+p}=b_{m}$ для всех $m \geqslant M$.)
комментарий/решение

Задача №4. Пусть $A B C$ — треугольник, в котором $AB < AC < BC$. Пусть $\omega$ — вписанная в треугольник $A B C$ окружность, а $I$ — ее центр. Пусть $X$ — такая точка на прямой $B C$, отличная от $C$, что прямая, проходящая через $X$ параллельно $A C$, касается $\omega$. Аналогично, пусть $Y$ — такая точка на прямой $B C$, отличная от $B$, что прямая, проходящая через $Y$ параллельно $A B$, касается $\omega$. Пусть $A I$ пересекает описанную около треугольника $A B C$ окружность второй раз в точке $P \neq A$. Пусть $K$ и $L$ — середины сторон $A C$ и $A B$ соответственно. Докажите, что $\angle K I L+\angle Y P X=180^{\circ}$.
комментарий/решение(3)

Задача №5. Улитка Турбо играет на доске, имеющей 2024 ряда и 2023 столбца, в следующую игру. В 2022 клетках доски прячутся монстры. Изначально Турбо не знает, где находится какой-либо из монстров, но она знает, что в каждом ряду, кроме первого и последнего, есть ровно один монстр и что в каждом столбце находится не более одного монстра.
Турбо делает серию попыток, чтобы пройти из первого ряда в последний. При каждой попытке она может выбрать в качестве начальной любую клетку в первом ряду, а затем совершает серию перемещений из клетки в соседнюю клетку, имеющую общую сторону. (Ей разрешается возвращаться в ранее посещенные клетки.) Если она посещает клетку с монстром, то её попытка завершается, и она переносится обратно в первый ряд, чтобы начать новую попытку. Монстры не двигаются, а Турбо запоминает, есть ли в каждой посещенной ею клетке монстр. Если она достигнет любой клетки в последнем ряду, её попытка завершается, и игра оканчивается.
Определите минимальное значение $n$ такое, что у Турбо есть стратегия, которая, независимо от местонахождений монстров, гарантирует достижение последней строки за $n$ попыток или раньше.
комментарий/решение(1)

Задача №6. Пусть $\mathbb{Q}$ — множество всех рациональных чисел. Функция $f: \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q}$ называется смежной, если выполнено следующее условие: для любых $x, y \in \mathbb{Q}$ имеем $$ f(x+f(y))=f(x)+y \quad \text{ или } \quad f(f(x)+y)=x+f(y).$$ Докажите, что существует целое число $с$ такое, что для любой смежной функции $f$ имеется не более $c$ различных рациональных чисел вида $f(r)+f(-r)$ для какого-то рационального $r$, и найдите наименьшее возможное значение $c$.
комментарий/решение(2)

результаты