Международная олимпиада 2024, Бат, Великобритания, 2024 год

Есеп №1. Кез келген натурал $n$ саны үшін бүтін $$[\alpha] +[ 2\alpha] +\cdots +[ n\alpha]$$ саны $n$-ге бөлінетіндей барлық нақты $\alpha$ сандарын табыңыз. (Мұнда $\left[ x \right]$, $x$-тен аспайтын ең үлкен бүтін санды білдіреді. Мысалы: $[-\pi]=-4$, $[2]=[2,9]=2$.)
комментарий/решение(2)

Есеп №2. Барлық $n \geqslant N$ сандары үшін $$ \text{ЕҮОБ}\left(a^{n}+b, b^{n}+a\right)=g$$ теңдігі орындалатындай етіп $g$ және $N$ натурал сандары табылатындай, барлық натурал $(a, b)$ сандар жұбын табыңыздар. (Мұнда ЕҮОБ$(x, y)$ бүтін $x$ пен $y$ сандарының ең үлкен ортақ бөлгішін білдіреді.)
комментарий/решение(1)

Есеп №3. $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$ шексіз натурал сандар тізбегі мен натурал $N$ саны берілген. Кез келген $n>N$ саны үшін $a_{n}$ саны нешеге тең болса, онда $a_{n-1}$ саны $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n-1}$ сандарының арасында сонша рет кездеседі. $a_{1}, a_{3}, a_{5}, \ldots$ және $a_{2}, a_{4}, a_{6}, \ldots$ екі тізбегінің кемінде біреуі ақырында периодты болатынын дәлелдеңіз. (Егер балық $m \geqslant M$ үшін $b_{m+p}=b_{m}$ болатындай натурал $p$ және $M$ сандары табылса, $b_{1}, b_{2}, b_{3}, \ldots$ тізбегі ақырында периодты тізбек деп аталады.)
комментарий/решение

Есеп №4. $A B C$ — үшбұрышында $AB < AC < BC$ теңсіздігі орындалады. $\omega$ — $A B C$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбер, ал $I$ — оның центрі. $C$ нүктесінен өзге $X$ нүктесі — $BC$ түзуінен алынған нүкте әрі, $X$ арқылы өтетін әрі $AC$-ға параллель түзу $\omega$-ны жанайды. Дәл сол сияқты, $B$ нүктесінен өзге $Y$ нүктесі — $BC$ түзуінен алынған нүкте әрі, $Y$ арқылы өтетін әрі $AB$-ға параллель түзу $\omega$-ны жанайды. $AI$ түзуі $ABC$-ға сырттай сызылған шеңберді екінші рет $P \neq A$ нүктесінде қияды. $K$ және $L$ — нүктелері, сәйкесінше, $AC$ және $AB$ қабырғаларының орталары. $\angle K I L+\angle Y P X=180^{\circ}$ екенін дәлелдеңіз.
комментарий/решение(2)

Есеп №5. Турбо атты ұлу 2024 жолы және 2023 бағаны бар тақтада келесі ойын ойнайды. Тақтаның 2022 ұяшығында құбыжықтар тығылып отыр. Турбо бастапқыда құбыжықтардың қай ұяшықта отырғанын білмейді, бірақ ол бірінші және соңғы жолдан басқа әр жолда дәл бір құбыжық бар екенін; және әр бағанда ең көп дегенде бір құбыжық бар екенін біледі.
Турбо бірінші жолдан соңғы жолға өтетіндей бірнеше әрекет жасайды. Әрбір әрекетте ол бірінші қатардағы кез келген ұяшықты бастапқы ұяшық ретінде таңдап алып, содан кейін ортақ қабырғасы бар көрші ұяшыққа өту серияларын жасайды. (Оған бұрын барған ұяшықтарға оралуға рұқсат.) Егер ол құбыжығы бар ұяшыққа түссе, онда оның осы кезектегі әрекеті аяқталады да, ол қайтадан бірінші жолға қайтарылады. Құбыжықтар қозғалмайды және Турбо ол барған әрбір ұяшықта құбыжықтың бар-жоғын есіне сақтап отырады. Егер Турбо осылай соңғы қатардағы кез келген ұяшыққа жетсе, оның әрекеті аяқталған болып есептеледі және ойын аяқталады.
Құбыжықтардың орналасуына қарамастан Турбо $n$ немесе одан аз әрекет санында соңғы ұяшыққа жете алатындай стратегия ойлап таба алатындай ең кіші $n$ санын табыңыз.
комментарий/решение(1)

Есеп №6. $\mathbb{Q}$ — барлық рационал сандар жиыны болсын. Егер кез келген $x, y \in \mathbb{Q}$ үшін $$ f(x+f(y))=f(x)+y \quad \text{ немесе } \quad f(f(x)+y)=x+f(y)$$ теңдігі орындалса, онда $f: \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q}$ функциясын іргелес функция деп атаймыз. Кез келген іргелес $f$ функциясы үшін, қандай да бір рационал $r$ саны үшін $f(r)+f(-r)$ түрінде келетін әртүрлі сандар саны $c$-дан аспайтындай бүтін $c$ саны табылатынын дәлелдеңіз, әрі осындай $c$ санының ең кіші мүмкін мәнін табыңыз.
комментарий/решение(1)

результаты