Международная олимпиада 2024, Бат, Великобритания, 2024 год

Задача №1. Найдите все действительные числа

$\alpha$ такие, что для любого положительного целого

$n$ целое число

$[\alpha] +[ 2\alpha] +\cdots +[ n\alpha]$ кратно

$n$ . (Здесь

$[z]$ обозначает наибольшее целое число, не превосходящее

$z$ . Например,

$[-\pi]=-4$ и

$[2]=[2,9]=2$ .)
комментарий/решение(4)

Задача №2. Найдите все пары

$(a, b)$ положительных целых чисел, для которых существуют такие положительные целые

$g$ и

$N$ , что

$\text{НОД}\left(a^{n}+b, b^{n}+a\right)=g$ для всех целых чисел

$n \geqslant N$ . (Здесь НОД

$(x, y)$ обозначает наибольший общий делитель целых чисел

$x$ и

$y$ .)
комментарий/решение(2)

Задача №3. Даны бесконечная последовательность положительных целых чисел

$a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$ и положительное целое число

$N$ . Известно, что для любого

$n>N$ число

$a_{n}$ равно количеству раз, которое число

$a_{n-1}$ встречается среди

$a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n-1}$ . Докажите, что хотя бы одна из последовательностей

$a_{1}, a_{3}, a_{5}, \ldots$ и

$a_{2}, a_{4}, a_{6}, \ldots$ является в конечном итоге периодической. (Последовательность

$b_{1}, b_{2}, b_{3}, \ldots$ называется в конечном итоге периодической, если существуют такие положительные целые числа

$p$ и

$M$ , что

$b_{m+p}=b_{m}$ для всех

$m \geqslant M$ .)
комментарий/решение(5)

Задача №4. Пусть

$A B C$ — треугольник, в котором

$AB < AC < BC$ . Пусть

$\omega$ — вписанная в треугольник

$A B C$ окружность, а

$I$ — ее центр. Пусть

$X$ — такая точка на прямой

$B C$ , отличная от

$C$ , что прямая, проходящая через

$X$ параллельно

$A C$ , касается

$\omega$ . Аналогично, пусть

$Y$ — такая точка на прямой

$B C$ , отличная от

$B$ , что прямая, проходящая через

$Y$ параллельно

$A B$ , касается

$\omega$ . Пусть

$A I$ пересекает описанную около треугольника

$A B C$ окружность второй раз в точке

$P \neq A$ . Пусть

$K$ и

$L$ — середины сторон

$A C$ и

$A B$ соответственно. Докажите, что

$\angle K I L+\angle Y P X=180^{\circ}$ .
комментарий/решение(5)

Задача №5. Улитка Турбо играет на доске, имеющей 2024 ряда и 2023 столбца, в следующую игру. В 2022 клетках доски прячутся монстры. Изначально Турбо не знает, где находится какой-либо из монстров, но она знает, что в каждом ряду, кроме первого и последнего, есть ровно один монстр и что в каждом столбце находится не более одного монстра.
Турбо делает серию попыток, чтобы пройти из первого ряда в последний. При каждой попытке она может выбрать в качестве начальной любую клетку в первом ряду, а затем совершает серию перемещений из клетки в соседнюю клетку, имеющую общую сторону. (Ей разрешается возвращаться в ранее посещенные клетки.) Если она посещает клетку с монстром, то её попытка завершается, и она переносится обратно в первый ряд, чтобы начать новую попытку. Монстры не двигаются, а Турбо запоминает, есть ли в каждой посещенной ею клетке монстр. Если она достигнет любой клетки в последнем ряду, её попытка завершается, и игра оканчивается.
Определите минимальное значение

$n$ такое, что у Турбо есть стратегия, которая, независимо от местонахождений монстров, гарантирует достижение последней строки за

$n$ попыток или раньше.
комментарий/решение(1)

Задача №6. Пусть

$\mathbb{Q}$ — множество всех рациональных чисел. Функция

$f: \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q}$ называется смежной, если выполнено следующее условие: для любых

$x, y \in \mathbb{Q}$ имеем

$f(x+f(y))=f(x)+y \quad \text{ или } \quad f(f(x)+y)=x+f(y).$ Докажите, что существует целое число

$с$ такое, что для любой смежной функции

$f$ имеется не более

$c$ различных рациональных чисел вида

$f(r)+f(-r)$ для какого-то рационального

$r$ , и найдите наименьшее возможное значение

$c$ .
комментарий/решение(2)

результаты