Международная олимпиада 2024, Бат, Великобритания, 2024 год

Даны бесконечная последовательность положительных целых чисел $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$ и положительное целое число $N$. Известно, что для любого $n>N$ число $a_{n}$ равно количеству раз, которое число $a_{n-1}$ встречается среди $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n-1}$. Докажите, что хотя бы одна из последовательностей $a_{1}, a_{3}, a_{5}, \ldots$ и $a_{2}, a_{4}, a_{6}, \ldots$ является в конечном итоге периодической. (Последовательность $b_{1}, b_{2}, b_{3}, \ldots$ называется в конечном итоге периодической, если существуют такие положительные целые числа $p$ и $M$, что $b_{m+p}=b_{m}$ для всех $m \geqslant M$.)