Международная олимпиада 2024, Бат, Великобритания, 2024 год

$a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots$ шексіз натурал сандар тізбегі мен натурал $N$ саны берілген. Кез келген $n>N$ саны үшін $a_{n}$ саны нешеге тең болса, онда $a_{n-1}$ саны $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n-1}$ сандарының арасында сонша рет кездеседі. $a_{1}, a_{3}, a_{5}, \ldots$ және $a_{2}, a_{4}, a_{6}, \ldots$ екі тізбегінің кемінде біреуі ақырында периодты болатынын дәлелдеңіз. (Егер балық $m \geqslant M$ үшін $b_{m+p}=b_{m}$ болатындай натурал $p$ және $M$ сандары табылса, $b_{1}, b_{2}, b_{3}, \ldots$ тізбегі ақырында периодты тізбек деп аталады.)