Международная олимпиада 2024, Бат, Великобритания, 2024 год
Комментарий/решение:
Ответ: $\: \alpha = 2k, \quad k \in \mathbb{Z}$
\[ \]
Очевидно что если задача верна для $\: a \: $ то она также верна для чисел $\: a-2, \: a+2$
\[ \]
Значит можно ограничить $ 0 \leq \alpha < 2$
\[ \alpha_n \: = \: \dfrac{\lfloor \alpha \rfloor + \lfloor 2\alpha \rfloor + \dots + \lfloor n\alpha \rfloor}{n} \]
\[\]
\[ \dfrac{b_{n}}{n(n+1)} \: = \: \alpha_{n+1} - \alpha_n \: = \: \dfrac{(n+1)\lfloor \alpha(n+1) \rfloor - ( \lfloor \alpha \rfloor + \lfloor 2\alpha \rfloor + \dots + \lfloor (n+1)\alpha \rfloor )}{n(n+1)} < 2 \]
\[ \]
$(\mathbb{i}) \: \alpha \: \ne \: 0 \quad$ для всех достаточно больших $\: n:$
\[\dfrac{b_{n+1}}{(n+1)(n+2)} \: = \: \dfrac{(n+1)\lfloor \alpha(n+2)\rfloor - ( \lfloor \alpha \rfloor + \lfloor 2\alpha \rfloor + \dots + \lfloor (n+1)\alpha \rfloor )}{(n+1)(n+2)}>0\]
\[ \]
$\lfloor \alpha(n+2)\rfloor - \lfloor \alpha(n+1) \rfloor \: = \: 2 \: \rightarrow \: \varnothing$
Значит $\: \alpha \: = \: 0 \: \: \square$
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.