Международная олимпиада 2024, Бат, Великобритания, 2024 год

Найдите все действительные числа $\alpha$ такие, что для любого положительного целого $n$ целое число $$[\alpha] +[ 2\alpha] +\cdots +[ n\alpha]$$ кратно $n$. (Здесь $[z]$ обозначает наибольшее целое число, не превосходящее $z$. Например, $[-\pi]=-4$ и $[2]=[2,9]=2$.)

Комментарий/решение

Ответ: $\: \alpha = 2k, \quad k \in \mathbb{Z}$

\[ \]

Очевидно что если задача верна для $\: a \: $ то она также верна для чисел $\: a-2, \: a+2$

\[ \]

Значит можно ограничить $ 0 \leq \alpha < 2$

\[ \alpha_n \: = \: \dfrac{\lfloor \alpha \rfloor + \lfloor 2\alpha \rfloor + \dots + \lfloor n\alpha \rfloor}{n} \]

\[\]

\[ \dfrac{b_{n}}{n(n+1)} \: = \: \alpha_{n+1} - \alpha_n \: = \: \dfrac{(n+1)\lfloor \alpha(n+1) \rfloor - ( \lfloor \alpha \rfloor + \lfloor 2\alpha \rfloor + \dots + \lfloor (n+1)\alpha \rfloor )}{n(n+1)} < 2 \]

\[ \]

$(\mathbb{i}) \: \alpha \: \ne \: 0 \quad$ для всех достаточно больших $\: n:$

\[\dfrac{b_{n+1}}{(n+1)(n+2)} \: = \: \dfrac{(n+1)\lfloor \alpha(n+2)\rfloor - ( \lfloor \alpha \rfloor + \lfloor 2\alpha \rfloor + \dots + \lfloor (n+1)\alpha \rfloor )}{(n+1)(n+2)}>0\]

\[ \]

$\lfloor \alpha(n+2)\rfloor - \lfloor \alpha(n+1) \rfloor \: = \: 2 \: \rightarrow \: \varnothing$

Значит $\: \alpha \: = \: 0 \: \: \square$

прикольно

Ответ: четные целые.

Пусть для $\alpha$ условие выполняется, тогда условие выполняется и для $\alpha+2k, \alpha -2k$ где $k$ целое. Чтобы убедится заметим что:

$$[\alpha \cdot 1+2k]+...+[\alpha \cdot n+2nk]=[\alpha \cdot 1]+...+[\alpha \cdot n]+k(2+4+...+2n)$$

$$[\alpha \cdot 1-2k]+...+[\alpha \cdot n-2nk]=[\alpha \cdot 1]+...+[\alpha \cdot n]-k(2+4+...+2n)$$

где:

$$2+4+...+2n=n\cdot (n+1)$$

Решим задачу для $-1 \leq \alpha \leq 1$, найденные решения можно обобщить для всего множества действительных. Не трудно проверить что $0$ является решением, a $-1$ и $1$ не подходят для $n=2$. Докажем что больше решений нет:

Случай 1) $0<\alpha <1$

существует наименьшее натуральное $n>1$ что $2> n\cdot \alpha \geq 1 > (n-1)\cdot \alpha >0$.

$$[\alpha]+...+[\alpha\cdot n]=0+...+0+1=1$$

что на $n$ не делится.

Случай 2) $-1<\alpha <0$

аналогично случаю 1 существует наименьшее натуральное $n>1$ что $-2<n\cdot \alpha <-1 < (n-1)\cdot \alpha <0$

$$[\alpha]+...+[\alpha\cdot n]=(-1)+...+(-1)+(-2)=(-n-1)$$

что тоже на $n$ не делится.

.......