Международная олимпиада 2024, Бат, Великобритания, 2024 год

Кез келген натурал $n$ саны үшін бүтін $$[\alpha] +[ 2\alpha] +\cdots +[ n\alpha]$$ саны $n$-ге бөлінетіндей барлық нақты $\alpha$ сандарын табыңыз. (Мұнда $\left[ x \right]$, $x$-тен аспайтын ең үлкен бүтін санды білдіреді. Мысалы: $[-\pi]=-4$, $[2]=[2,9]=2$.)

Комментарий/решение

Ответ: $\: \alpha = 2k, \quad k \in \mathbb{Z}$

\[ \]

Очевидно что если задача верна для $\: a \: $ то она также верна для чисел $\: a-2, \: a+2$

\[ \]

Значит можно ограничить $ 0 \leq \alpha < 2$

\[ \alpha_n \: = \: \dfrac{\lfloor \alpha \rfloor + \lfloor 2\alpha \rfloor + \dots + \lfloor n\alpha \rfloor}{n} \]

\[\]

\[ \dfrac{b_{n}}{n(n+1)} \: = \: \alpha_{n+1} - \alpha_n \: = \: \dfrac{(n+1)\lfloor \alpha(n+1) \rfloor - ( \lfloor \alpha \rfloor + \lfloor 2\alpha \rfloor + \dots + \lfloor (n+1)\alpha \rfloor )}{n(n+1)} < 2 \]

\[ \]

$(\mathbb{i}) \: \alpha \: \ne \: 0 \quad$ для всех достаточно больших $\: n:$

\[\dfrac{b_{n+1}}{(n+1)(n+2)} \: = \: \dfrac{(n+1)\lfloor \alpha(n+2)\rfloor - ( \lfloor \alpha \rfloor + \lfloor 2\alpha \rfloor + \dots + \lfloor (n+1)\alpha \rfloor )}{(n+1)(n+2)}>0\]

\[ \]

$\lfloor \alpha(n+2)\rfloor - \lfloor \alpha(n+1) \rfloor \: = \: 2 \: \rightarrow \: \varnothing$

Значит $\: \alpha \: = \: 0 \: \: \square$

прикольно