28-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров. Турция, 2024 год

Три друга, Арчи, Билли и Чарли, играют в игру. В начале игры у каждого из них есть кучка в 2024 камешка. Арчи делает первый ход, Билли — второй, Чарли — третий, и они продолжают делать ходы в том же порядке. В каждом ходе игрок, делающий ход, должен выбрать положительное целое число $n$, больше любого ранее выбранного числа любым игроком, взять $2n$ камешков из своей кучки и равномерно распределить их между двумя другими игроками. Если игрок не может сделать ход, игра заканчивается, и этот игрок проигрывает. Определите всех игроков, у которых есть стратегия, позволяющая, независимо от действий двух других игроков, не проиграть игру.

Комментарий/решение

Обозначим количество камешков у Арчи, Билли и Чарли как \(A, B\) и \(C\). В начальный момент \(A_0 = B_0 = C_0 = 2024\).При каждом ходе игрока с числом \(n\), количество камешков в его кучке уменьшается на \(2n\), а в кучках его оппонентов увеличивается на \(n\). Суммарное количество камешков во всей игре остается неизменным и равным \(2024 \times 3 = 6072\). Поскольку последовательность выбираемых чисел \(n_1 < n_2 < n_3 < \dots\) строго возрастает, то на каждом шаге \(k\) выполняется условие \(n_k \ge k\). Это означает, что игра обязана завершиться за конечное число шагов, так как запасы камешков в кучках игроков истощаются, а требования к размеру следующего хода только растут.Арчи делает первый ход с числом \(n_1 \ge 1\). После этого хода состояние кучек становится следующим:\(A_1 = 2024 - 2n_1\)\(B_1 = 2024 + n_1\)\(C_1 = 2024 + n_1\)Заметим, что после первого хода Арчи его кучка стала меньше кучек Билли и Чарли. Более того, Билли и Чарли получили «бонус» в виде \(n_{1}\) камешков, который они могут использовать для своих последующих ходов.Билли и Чарли могут придерживаться стратегии выбора минимально возможного числа \(n\) на каждом своем ходу. То есть, если предыдущий игрок выбрал число \(n_{k}\), следующий выбирает \(n_{k+1} = n_k + 1\). Поскольку Арчи является первым, кто начал тратить свои камешки, и при этом он единственный, кто совершил ход, не получив предварительно прибавки от других игроков, его ресурс исчерпается раньше всех.Рассмотрим разность между кучками Билли и Арчи после хода Билли с числом \(n_{2}\).Состояние после хода Билли:\(A_2 = 2024 - 2n_1 + n_2\)\(B_2 = 2024 + n_1 - 2n_2\)\(C_2 = 2024 + n_1 + n_2\)В любой момент игры кучки Билли и Чарли будут содержать больше камешков, чем кучка Арчи (или столько же), если они будут выбирать минимально необходимые значения \(n\). Арчи всегда будет находиться в невыгодном положении «первого донора», который увеличил капитал своих соперников за счет своего собственного. Таким образом, Арчи первым достигнет ситуации, когда он не сможет сделать очередной ход \(n_k > n_{k-1}\), так как \(2n_{k}\) превысит остаток в его кучке. Билли и Чарли, имея больший запас ресурсов, всегда смогут сделать ход после того, как его сделал Арчи.

Не уверен что мое решение не правльно ведь nk болше n k-1