28-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров. Турция, 2024 год

Арчи, Билли және Чарли келесі ойын ойнайды. Ойынның басында әрқайсысында 2024 тасы бар үйінді бар. Бірінші жүрісті Арчи, екіншісін Билли, үшіншісін Чарли жасайды да осы ретпен қайта кезектесіп жүре береді. Әр ойыншы өз жүрісінде оған дейін таңдалған кез келген саннан (оған дейін тек өзі таңдаған сан болуы міндетті емес) үлкен натурал $n$ санын таңдап, өз үйіндісінен $2n$ тасты алып оларды басқа екі ойыншылардың үйінділеріне теңдей бөліп салуы керек. Егер ойыншы өзінің кезегінде шарт орындалатындай жүріс жасай алмаса, ол жеңіледі. Қай ойыншыларда, басқа екі ойыншының әрекеттеріне қарамастан, өзі жеңілмейтіндей стратегия бар?

Комментарий/решение

Обозначим количество камешков у Арчи, Билли и Чарли как \(A, B\) и \(C\). В начальный момент \(A_0 = B_0 = C_0 = 2024\).При каждом ходе игрока с числом \(n\), количество камешков в его кучке уменьшается на \(2n\), а в кучках его оппонентов увеличивается на \(n\). Суммарное количество камешков во всей игре остается неизменным и равным \(2024 \times 3 = 6072\). Поскольку последовательность выбираемых чисел \(n_1 < n_2 < n_3 < \dots\) строго возрастает, то на каждом шаге \(k\) выполняется условие \(n_k \ge k\). Это означает, что игра обязана завершиться за конечное число шагов, так как запасы камешков в кучках игроков истощаются, а требования к размеру следующего хода только растут.Арчи делает первый ход с числом \(n_1 \ge 1\). После этого хода состояние кучек становится следующим:\(A_1 = 2024 - 2n_1\)\(B_1 = 2024 + n_1\)\(C_1 = 2024 + n_1\)Заметим, что после первого хода Арчи его кучка стала меньше кучек Билли и Чарли. Более того, Билли и Чарли получили «бонус» в виде \(n_{1}\) камешков, который они могут использовать для своих последующих ходов.Билли и Чарли могут придерживаться стратегии выбора минимально возможного числа \(n\) на каждом своем ходу. То есть, если предыдущий игрок выбрал число \(n_{k}\), следующий выбирает \(n_{k+1} = n_k + 1\). Поскольку Арчи является первым, кто начал тратить свои камешки, и при этом он единственный, кто совершил ход, не получив предварительно прибавки от других игроков, его ресурс исчерпается раньше всех.Рассмотрим разность между кучками Билли и Арчи после хода Билли с числом \(n_{2}\).Состояние после хода Билли:\(A_2 = 2024 - 2n_1 + n_2\)\(B_2 = 2024 + n_1 - 2n_2\)\(C_2 = 2024 + n_1 + n_2\)В любой момент игры кучки Билли и Чарли будут содержать больше камешков, чем кучка Арчи (или столько же), если они будут выбирать минимально необходимые значения \(n\). Арчи всегда будет находиться в невыгодном положении «первого донора», который увеличил капитал своих соперников за счет своего собственного. Таким образом, Арчи первым достигнет ситуации, когда он не сможет сделать очередной ход \(n_k > n_{k-1}\), так как \(2n_{k}\) превысит остаток в его кучке. Билли и Чарли, имея больший запас ресурсов, всегда смогут сделать ход после того, как его сделал Арчи.

Не уверен что мое решение не правльно ведь nk болше n k-1