41-я Балканская математическая олимпиада. Варна, Болгария, 2024 год

Пусть $n \ge k \ge 3$ — целые числа. Покажите, что для любой целочисленной последовательности $1 \le a_1 < a_2 < \ldots < a_k \le n$ можно выбрать неотрицательные целые числа $b_1, b_2, \ldots, b_k$, удовлетворяющие следующим условиям:
   i) $0 \le b_i \le n$ для каждого $1 \le i \le k$,
   ii) все положительные $b_i$ различны,
   iii) суммы $a_i + b_i$ для $1 \le i \le k$ образуют перестановку первых $k$ членов непостоянной арифметической прогрессии.

Комментарий/решение

Построим последовательность

$a_k-(k-1), a_k-(k-2), ... a_k.$

Если какой-то $a_i=a_k-j,$ где $0\leq j \leq k-1$

Тогда возьмем $b_i=0$.

А для остальных $a_i$ будем действовать следующим образом$:$

Пусть $a_n$ наименьшее из оставшихся чисел, а

$a_k-m$ наибольшее из остальных чисел нужной нам последовательности.

Тогда будем брать $b_n=a_k-a_n+m$. Легко заметить, что все такие $b_n$ будут различными. ч.т.д.