41-я Балканская математическая олимпиада. Варна, Болгария, 2024 год
n≥k≥3 — бүтін сандар болсын. Бүтін сандардан тұратын кез келген 1≤a1<a2<…<ak≤n сандар тізбегі үшін төмендегі үш шартты қанағаттандыратын теріс емес бүтін сандардан құралған b1,b2,…,bk тізбегін таңдап алуға болатынын дәлелдеңіз:
i) барлық 1≤i≤k үшін 0≤bi≤n,
ii) барлық оң bi сандары әртүрлі,
iii) 1≤i≤k үшін ai+bi қосындылары тұрақты емес арифметикалық прогрессияның бастапқы k мүшесінің орын ауыстыруы болып келеді.
посмотреть в олимпиаде
i) барлық 1≤i≤k үшін 0≤bi≤n,
ii) барлық оң bi сандары әртүрлі,
iii) 1≤i≤k үшін ai+bi қосындылары тұрақты емес арифметикалық прогрессияның бастапқы k мүшесінің орын ауыстыруы болып келеді.
Комментарий/решение:
Построим последовательность
ak−(k−1),ak−(k−2),...ak.
Если какой-то ai=ak−j, где 0≤j≤k−1
Тогда возьмем bi=0.
А для остальных ai будем действовать следующим образом:
Пусть an наименьшее из оставшихся чисел, а
ak−m наибольшее из остальных чисел нужной нам последовательности.
Тогда будем брать bn=ak−an+m. Легко заметить, что все такие bn будут различными. ч.т.д.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.