Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

41-я Балканская математическая олимпиада. Варна, Болгария, 2024 год


nk3 — бүтін сандар болсын. Бүтін сандардан тұратын кез келген 1a1<a2<<akn сандар тізбегі үшін төмендегі үш шартты қанағаттандыратын теріс емес бүтін сандардан құралған b1,b2,,bk тізбегін таңдап алуға болатынын дәлелдеңіз:
   i) барлық 1ik үшін 0bin,
   ii) барлық оң bi сандары әртүрлі,
   iii) 1ik үшін ai+bi қосындылары тұрақты емес арифметикалық прогрессияның бастапқы k мүшесінің орын ауыстыруы болып келеді.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 3   6
6 месяца 27 дней назад #

Построим последовательность

ak(k1),ak(k2),...ak.

Если какой-то ai=akj, где 0jk1

Тогда возьмем bi=0.

А для остальных ai будем действовать следующим образом:

Пусть an наименьшее из оставшихся чисел, а

akm наибольшее из остальных чисел нужной нам последовательности.

Тогда будем брать bn=akan+m. Легко заметить, что все такие bn будут различными. ч.т.д.