Математикадан аудандық олимпиада, 2012-2013 оқу жылы, 9 сынып

$\underbrace {999\ldots 9^3}_{100 - \text{ рет}}$ санының ондық жазылуында қанша 9 цифрасы бар?

Комментарий/решение

Ответ: 199.

$\underbrace {999\ldots 9^3}_{100} = (10^{100}-1)^3 = 10^{300} - 3\cdot 10^{200} + 3\cdot 10^{100}-1=$

$\begin{array}{r}=1\,\underbrace {000\ldots 0}_{100}\,\underbrace {000\ldots 0}_{100}\,\underbrace {000\ldots 0}_{100}\\ - 3 \,\underbrace {000\ldots 0}_{100}\,\underbrace {000\ldots 0}_{100}\\ + 3 \,\underbrace {000\ldots 0}_{100}\\ - 1\end{array}$

$=\underbrace {999\ldots 9}_{99}7\underbrace {000\ldots 0}_{99}2\underbrace {999\ldots 9}_{100}$