Республиканская олимпиада по математике, 2024 год, 11 класс
Комментарий/решение:
Решение. Пусть P(x,y) обозначает начальное уравнение.
(1) P(1,x): f(f(x)+1)=f(x)f(x+1x).
(2) P(t/x,x): f(tx+xf(t)t)=f(t)f(x+1x).
Допустим нашлись такие b>a, что f(a)>f(b), тогда
f(ax+xf(a)a)>f(bx+xf(b)b)
Но с другой стороны существует такое x, что
ax+xf(a)a=bx+xf(b)b⟺x2=(b−a)÷(f(a)a−f(b)b)>0,
противоречие. Значит f не убывает.
(3) P(x,t/x): f(x+f(t)x)=f(t)f(tx+xt).
(4) P(f(t),tf(t)):f(f(t)+1)=f(t)f(tf(t)+f(t)t)⟹f(t+1t)=f(f(t)t+tf(t)) используя (1).
Случай 1. f − не инъективная, пусть x1>x2 и f(x1)=f(x2). Из (3) получаем, что
f(2)=f(a+1a) для a=x1x2>1.
Докажем, что f фиксирована на [2,+∞). Понятно, что на [2,a+1a] она фиксирована в силу не убывания.
Из (3) следует, что для всех p,q∈[2,a+1a] и x>0 верно f(px+xp)=f(qx+xq)
Пусть p=2,q=a+1a и x=aq, тогда
f(a2+12+2a2+1)=f(a+1a).
Рассмотрим последовательность {an} такую, что a0=a>1 и an+1=a2n+12. Заметим, что это строго возрастающая последовательность. Если она ограничена сверху, то существует предел
L=limn→∞an=limn→∞an+1=limn→∞a2n+12=L2+12⟹L=1⟹∅.
Значит функция f фиксирована на [2,+∞). Теперь подставим достаточно большое x в (3), откуда f(t)=1, то есть f(x)≡1.
Случай 2. f − инъективная. Тогда из 4) получаем
t+1t=f(t)t+tf(t)⟺f(t)2−(1+t2)f(t)+t2=0⟹f(t)=t2 или 1.
Из инъективности только f(1)=1, откуда f(x)≡x2.
Извините, а как вы так черным текстом пишете?
Какую команду используете, я сам не смог найти нигде
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.