Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Республиканская олимпиада по математике, 2024 год, 9 класс


Барлық бұрышы 45-тан артық болатын ABC (ABAC) үшбұрышында AD биіктігі жүргізілген. ω1 және ω2 — диаметрлері, сәйкесінше, AC және AB болатын шеңберлер. ADB бұрышының биссектрисасы ω1-ді екінші рет P нүктесінде, ал ADC бұрышының биссектрисасы ω2-ні екінші рет Q нүктесінде қияды. AP түзуі ω2-ні екінші рет R нүктесінде қисын. PQR үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің центрі BC түзуінің бойында жататынын дәлелдеңіз. ( Шынтас Н. )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 4   0
1 года назад #

Пусть S=AQ(ABD)A, тогда заметим, что: (PS,SQ)=(PS,SA)=(PD,DA)=(AD,DQ)=(AR,RQ)=(PR,RQ)

поэтому PSRQ - вписанный. Тогда для положений (P,R),(S,Q) велосипедистов по ω1 и ω2 получаем, что есть точка O, которая лежит на серперах к PR и QS, и из вписанности PSRQ следует, что O - центр окружности. Как известно, данная точка O определяется, как точка, для которой AO1OO2 является параллелограммом, то есть серединой BC. O1,O2 - центры окружностей ω1 и ω2.

Иначе:

Лемма:

Проекции вершин B,C на изогонали угла BAC равноудалены от середины BC.

Заметим, что PAB=CAQ=45, SAB=RAC и PBA=BSA=CRA=CQA=90. Если использовать лемму, то получится, что серперы к SR и PQ пересекутся в M, которая середина BC.

  7
1 года назад #

Пусть (PQD) пересекает BC в точке M. Тогда QPM = ADQ = 45. Очевидно MP=MQ и угол PMQ прямой. Из вписанности QRBA: PRQ = ABQ = 45. Значит PMQ два раза больше PRQ. Отсюда легко понять что M центр описанной PQR.