Республиканская олимпиада по математике, 2024 год, 9 класс
Барлық бұрышы 45∘-тан артық болатын ABC (AB≠AC) үшбұрышында AD биіктігі жүргізілген. ω1 және ω2 — диаметрлері, сәйкесінше, AC және AB болатын шеңберлер. ADB бұрышының биссектрисасы ω1-ді екінші рет P нүктесінде, ал ADC бұрышының биссектрисасы ω2-ні екінші рет Q нүктесінде қияды. AP түзуі ω2-ні екінші рет R нүктесінде қисын. PQR үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің центрі BC түзуінің бойында жататынын дәлелдеңіз.
(
Шынтас Н.
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Пусть S=AQ∩(ABD)≠A, тогда заметим, что: ∠(PS,SQ)=∠(PS,SA)=∠(PD,DA)=∠(AD,DQ)=∠(AR,RQ)=∠(PR,RQ)
поэтому PSRQ - вписанный. Тогда для положений (P,R),(S,Q) велосипедистов по ω1 и ω2 получаем, что есть точка O, которая лежит на серперах к PR и QS, и из вписанности PSRQ следует, что O - центр окружности. Как известно, данная точка O определяется, как точка, для которой AO1OO2 является параллелограммом, то есть серединой BC. O1,O2 - центры окружностей ω1 и ω2.
Иначе:
Лемма:
Проекции вершин B,C на изогонали угла ∠BAC равноудалены от середины BC.
Заметим, что ∠PAB=∠CAQ=45∘, ∠SAB=∠RAC и ∠PBA=∠BSA=∠CRA=∠CQA=90∘. Если использовать лемму, то получится, что серперы к SR и PQ пересекутся в M, которая середина BC.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.