22-ші «Жібек жолы» математикалық олимпиадасы, 2023 жыл
Комментарий/решение:
Предоставим способ для построения Q,R.
Пусть, S - множество многочленов, представимых как ∑idixaiybizci, причем \forall i: 4a_i-2b_i+c_i \equiv 0 \pmod{9}. Заметим, что S с обычными операциями сложения и умножения образует коммутативное кольцо с единицей, причем в нем нет делителей нуля. Пусть, P=\sum_{k=0}^8 P_k, где P_k - нулевой многочлен или он представим как \sum_i d_i x^{a_i}y^{b_i}z^{c_i}, где \forall i: 4a_i-2b_i+c_i \equiv k \pmod{9}. Теперь посмотрим на такую систему уравнений:
\left\{ \begin{gathered} z^8(P_1 z^0 T_0+P_0 z^1 T_1+P_8 z^2 T_2+\dots)=0 \\ z^7(P_2 z^0 T_0+P_1 z^1 T_1+P_0 z^2 T_2 \dots)=0 \\ \vdots \\ z^1(P_8 z^0 T_0+P_7z^1T_1+P_6z^2T_2+\dots)=0 \end{gathered} \right.
Заметим, что эта система из 8 уравнений с 9 переменными (T_0,T_1,\dots), причем коэффициенты являются элементами S. Следовательно, у этой системы есть решение в S, где не все T_k - нулевые многочлены (для того как их найти и почему это так, см. Метод Гаусса).
Тогда возьмем Q=\sum_{k=0}^8 z^k T_k. Заметим, что тогда по построению, Q \neq 0 (ведь у z^kT_k нет общих одночленов при разных индексах и не все T_k равны 0) и многочлен P \cdot Q является элементом S. Заметим, что у системы
\left\{ \begin{gathered} 2\alpha+\beta=a \\ 2\beta+\gamma=b \\ 2\gamma+\alpha=c \end{gathered} \right.
где a,b,c - целые есть решение в целых тогда и только тогда, когда 4a-2b+c делится на 9. Значит, P \cdot Q можно записать как \sum d_i (x^2y)^{\alpha_i}(y^2z)^{\beta_i}(z^2x)^{\gamma_i} для целых \alpha_i,\beta_i,\gamma_i. Если какие-то из них являются отрицательными, то просто домножим Q на (xyz)^{3N} для достаточно большого N.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.