Математикадан аудандық олимпиада, 2023-2024 оқу жылы, 11 сынып

a) Натурал санның кубының ондық жазбасындағы цифрларының қосындысы 2023-ке тең бола ала ма? б) Натурал санның кубының ондық жазбасында дәл 2023 цифр болуы мүмкiн бе?

Комментарий/решение

а)Нет, рассмотрим по модулю $9$:

$n^3 \equiv 0;1;8 \pmod{9}$ но $2023\equiv 7\pmod{9}$. Если воспользоваться тем, что остаток суммы цифр числа равен остатку от числа при делении на $9$, то получим противоречие

б)Да, пример: $10^{2022}=10^{3\times 674}=(10^{674})^3$ Ну, а тут 2022 нулей и одна однерка

а) デジタルルート定理によると、数字の合計はその数を9で割った余りと等しいです。したがって、数字の合計はその数の合計の3乗でなければなりません。しかし、数字2023は9で割り切れないので、自然数の立方体の数字の合計は2023になりません。

б) 自然数の立方体の10進数表記がちょうど2023桁である場合、式\( \lfloor \log_{10}(n^3) \rfloor + 1 = 2023 \) を考えます。

したがって、\( \log_{10}(n^3) \) は2022と2023の間である必要があります。したがって、\( n^3 \) は \( 10^{2022} \) と \( 10^{2023} \) の間にある必要があります。

\( n^3 \) が \( 10^{2023} \) より小さい場合、最小の自然数 \( n \) は \( 10^{674} \) です。そして、\( n^3 \) が \( 10^{2022} \) より大きい場合も同様に、最小の自然数 \( n \) は \( 10^{674} \) です。

したがって、自然数の立方体の10進数表記がちょうど2023桁である場合、その数は \( 10^{674} \) である必要があります。