Областная олимпиада по математике, 2006 год, 11 класс

Решите в натуральных числах уравнение ${\mathop{\hbox{НОК}}\nolimits} (a,b)+{\mathop{\hbox{НОД}}\nolimits} (a,b) = ab$. (НОД — наибольший общий делитель, НОК — наименьшее общее кратное).

Комментарий/решение

Помимо вышеописанного соотношения между НОК и НОД , так же есть $[a,b] \cdot (a,b) = a \cdot b$ , то есть $[a,b]=x, (a,b)=y$ то $x+y=xy$ то есть $x=y=2$ это числа $a=b=2$

Возьмем $$a=dk, b=dl$$, где $$gcd(k,l,)=1$$.

Значит, получим:

$$dkl+d=d^2kl$$, поделив все на d:

$$kl(d-1)=1 \Rightarrow d=2, k=l=1$$

Отсюда выходит a=b=2