Математикадан аудандық олимпиада, 2023-2024 оқу жылы, 9 сынып

Теңдеулер жүйесiн шешiңiз:
   a) $\left\{ \begin{array}{l} x - \frac{1}{y} = 0,\\ y - \frac{1}{x} = 1. \end{array} \right.$ б) $\left\{ \begin{array}{l} x - \frac{1}{y} = 1,\\ y - \frac{1}{x} = 2. \end{array} \right.$

Комментарий/решение

В пункте $a$ во второй строке справа должно быть 1

$ a) x - \frac{1}{y} = 0$, значит $x = \frac{1}{y}$ , $y - \frac{1}{x} = 1 = 0$, противоречие

..

а) (здесь в задаче есть ошибка, второе уравнение равняется $1$)

$x = \dfrac{1}{y}$ Отсюдого:

$у - \dfrac{1}{\dfrac{1}{y}} = 1$

$y-y = 1 \Rightarrow 0=1$

Противоречие, значит ответ: $\oslash$

б) $x = 1 + \dfrac{1}{y}$

Подставляем во второе уравнение:

$y – \dfrac{1}{ 1 + \dfrac{1}{y}} = 2$

$y - \dfrac{y}{y+1} = 2$

$\dfrac{y^2 - 2y - 2}{y+1} = 0$ Отсюдого $ y \ne -1$ Приравниваем числитель к 0:

$y^2 - 2y -2 = 0$

$D = (-2)^2 – 4 \cdot (-2) = (\sqrt{12})^2$

$y_{1/2} = \dfrac{2 ± \sqrt{12}}{2} \Rightarrow \dfrac{ 2( 1± \sqrt{3})}{2} \Rightarrow y_{1/2} = 1± \sqrt{3}$

Теперь подставляем $у$ в формулу с $х:$

$x_{1} = 1 + \dfrac{1}{1 + \sqrt{3}} = \dfrac{1 + \sqrt{3}}{2}$

$ x_{2} = 1 + \dfrac{1}{1 - \sqrt{3}} = \dfrac{1 - \sqrt{3}}{2}$

Ответ: $( \dfrac{1 + \sqrt{3}}{2} ; 1 + \sqrt{3})$, $( \dfrac{1 - \sqrt{3}}{2} ; 1 - \sqrt{3})$

Қайырлы күн. Сіз тек х тердің мәнін таптыңыз. Есептің жауабын дұрыс беру үшін (х, у) жұптары түрінде берілу керек. Дұрыс жауап: ((1+\sqrt{3})/2, 1+\sqrt{3}), ((1-\sqrt{3})/2, 1-\sqrt{3})

Сәлеметсіз бе, иә, У тің мәнің, Х мәнін алу үшін қойуды ұмытып кеттім, байқағаныңыз үшін рақмет!