Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 7 класс, 2023 год

Дан квадрат $9 \times 9$, в каждой клетке стоит по пешке. Ходя по очереди два игрока играют следующим образом. Начинающий первый игрок за один свой ход указывает на две пешки, стоящих в соседних по стороне клетках. Затем второй своим ходом одну из этих пешек убирает. Как только оказывается, что у какой-то из оставшихся на доске пешки выкинуты две соседние пешки по стороне, игра заканчивается. Какое наибольшее количество пешек $n$ первый игрок может себе обеспечить, чтобы независимо от действий второго игрока, осталось гарантированно $n$ пешек?

Комментарий/решение

Оценка: в прямоугольнике $2*4$ не менее двух убранных пешек. Понятно , что нужно найти вариант, когда убрали наименьшее количество пешек. Пример: Возьмём левый верхний квадрат $8*8$ и разобьём его на полоски $2*4$, в каждой из этих полосок 2 убранные пешки( тоесть уже убранных пешек 16;). Остаются пешки по краям и пока игра не закончилась второй игрок может убрать 7 пешек. Всего убрано $23$ пешки , а изначально было $81=>81-23=58$.