Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 7 класс, 2023 год

Өлшемі $9 \times 9$ шаршы берілген, оның әр ұяшығында бір пешкадан тұр. Екі ойыншы кезекпен жүре, келесі ойын ойнайды. Бірінші (ойынды бастайтын) ойыншы өз жүрісінде қабырға бойынша көрші тұрған екі ұяшықтағы екі пешканы көрсетеді. Сосын екінші ойыншы осы екі пешканың біреуін өз қалауынша алып тастайды. Тақтада алғаш рет қабырға бойынша көрші орналасқан екі көршісі алынып тасталған қандай да бір пешка табылған кезде, ойын аяқталады. Екінші ойыншының әрекетіне қарамастан тақтада кепілді түрде $n$ пешка қалатындай етіп, бірінші ойыншы өзіне мүмкіндігінше ең үлкен қандай $n$ санын ала алады?

Комментарий/решение

Оценка: в прямоугольнике $2*4$ не менее двух убранных пешек. Понятно , что нужно найти вариант, когда убрали наименьшее количество пешек. Пример: Возьмём левый верхний квадрат $8*8$ и разобьём его на полоски $2*4$, в каждой из этих полосок 2 убранные пешки( тоесть уже убранных пешек 16;). Остаются пешки по краям и пока игра не закончилась второй игрок может убрать 7 пешек. Всего убрано $23$ пешки , а изначально было $81=>81-23=58$.