Математикадан облыстық олимпиада, 2005-2006 оқу жылы, 10 сынып

$ABC$ үшбұрышының $AC$, $BA$, $BC$ қабырғаларынан сәйкесінше $\angle AKL = \angle CKM = \angle ABC$ болатындай $K$, $L$, $M$ нүктелері алынған. $AM$ және $CL$ кесінділері $P$ нүктесінде қиылысады. $L$, $B$, $M$, $P$ нүктелері бір шеңбердің бойында жататынын дәлелдеңіздер.

Комментарий/решение

$\angle ABC = \angle MKC = \angle AKL$ $\Leftrightarrow$ $\square AKMB$, $\square KLBC$ - описанные. Отсюда $\angle LCK = \angle KBA = \angle AMK$ $\Leftrightarrow$ $\square KPMC$ - описанный. Отсюда $\angle CKM = \angle CPM = \angle ABC$ $\Leftrightarrow$ $\square LPMB$ описанный.

Вписанный может?