Городская Жаутыковская олимпиада по математике, 6 класс, 2022 год

а) Можно ли выписать на доске четыре различных двузначных чисел так, чтобы разность любых двух из них было простым числом?
   б) Можно ли выписать на доске пять различных двузначных чисел так, чтобы разность любых двух из них было простым числом?

Комментарий/решение

а) Можно: Пусть $a$ это какое-то двузначное число. Б.О.О $a_1<a_2<a_3<a_4$.

То выпишем: $a, a+2, a+5, a+7$

б) Нельзя , т.к сверху приведен единственный вариант для 4 чисел. И пусть мы выпишем $a+k$, т.к $k>2 => a+k-a=k$, где k- какое-то простое число>2. Таким образом k- нч, но $a+k-a-7$-четное (может быть только 2)=> $k-7=2 =>k=9$. Но k должно быть простым. Противоречие.