6-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 6 класс, 3 тур

В мешке лежат 127 конфеты. Боб и Алиса берут из мешка по очереди конфеты от 1 до 10. Когда разобраны все конфеты, игроки подсчитывают, сколько каждый из них набрал конфет. Если эти числа являются взаимно простыми, побеждает игрок Алиса. В противном случае побеждает игрок Боб. Кто выиграет в этой игре? (Два целых числа $a$ и $b$ называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен единице, то есть, $\text{НОД}(a, b)=1$.)

Комментарий/решение

Заметим 127-простое, то $127=b+a$. Пусть $НОД(a,b)=x>1, a=xy, b=xz$, то $x(y+z)=127 => x=127, y+z=1$, но т.к z,y-натуральные => $z+y>1$. Противоречие, понятно что $x=1$ и всегда выигрывает Алиса.