6-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 6 класс, 3 тур

Қапта 127 кәмпит бар. Боб және Алиса кезекпен жүре отыра, әрқайсысы өз жүрісінде қаптан 1-ден 10-ға дейін кәмпит алады. Қапта кәмпит біткен кезде, әр ойыншы барлығы неше кәмпит алғанын есептейді. Егер алынған сандар өзара жай болса, Алиса жеңеді, кері жағдайда Боб жеңеді. Бұл ойында кім жеңеді? (Егер $\text{ЕҮОБ}(a, b)=1$ болса, бүтін $a$ және $b$ сандары өзара жай сандар деп аталады.)

Комментарий/решение

Заметим 127-простое, то $127=b+a$. Пусть $НОД(a,b)=x>1, a=xy, b=xz$, то $x(y+z)=127 => x=127, y+z=1$, но т.к z,y-натуральные => $z+y>1$. Противоречие, понятно что $x=1$ и всегда выигрывает Алиса.