қазақша
русский6-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 6 класс, 3 тур
Задача №1. В мешке лежат 127 конфеты. Боб и Алиса берут из мешка по очереди конфеты от 1 до 10. Когда разобраны все конфеты, игроки подсчитывают, сколько каждый из них набрал конфет. Если эти числа являются взаимно простыми, побеждает игрок Алиса. В противном случае побеждает игрок Боб. Кто выиграет в этой игре? (Два целых числа $a$ и $b$ называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен единице, то есть, $\text{НОД}(a, b)=1$.)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. Сколькими способами в клетки таблицы $3 \times 3$ можно записать натуральные числа так, чтобы произведение чисел в любой строке и в любом столбце равнялись 27?
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №3. Клетки черно-белой доски $12 \times 12$ раскрашены в шахматном порядке. Разрешается взять любые две соседние по стороне клетки и перекрасить их: черные клетки — в зеленый цвет, зеленые — в белый, белые — в черный. Какое наименьшее число таких операций потребуется, чтобы получить <<противоположную>> бело-черную шахматную раскраску?
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №4. Можно ли нарисовать на плоскости (не обязательно выпуклый) шестиугольник, у которого пары противоположных сторон параллельны, но никакие две противоположные стороны нельзя одновременно пересечь перпендикулярной им прямой? (Пересечение стороны должно быть строго во внутренней точке стороны.)
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №5. Известно, что 4003-значное число $\overline{aa\ldots aabcc\ldots cc}$ делится на 239 (здесь цифры $a$ и $c$ встречаются по 2001 раз). Докажите, что $b=a+c$.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)