6-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 6 класс, 3 тур

Есеп №1. Қапта 127 кәмпит бар. Боб және Алиса кезекпен жүре отыра, әрқайсысы өз жүрісінде қаптан 1-ден 10-ға дейін кәмпит алады. Қапта кәмпит біткен кезде, әр ойыншы барлығы неше кәмпит алғанын есептейді. Егер алынған сандар өзара жай болса, Алиса жеңеді, кері жағдайда Боб жеңеді. Бұл ойында кім жеңеді? (Егер $\text{ЕҮОБ}(a, b)=1$ болса, бүтін $a$ және $b$ сандары өзара жай сандар деп аталады.)
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Кез келген жолдағы және кез келген бағандағы сандардың көбейтіндісі 27-ге тең болатындай етіп, $3 \times 3$ кестесінің ұяшықтарына натурал сандарды неше тәсілмен жазуға болады?
комментарий/решение

Есеп №3. $12 \times 12$ тақтаның ұяшықтары шахмат тақтасы үлгісінде ақ және қара түстерге боялған. Қабырға бойынша көрші орналасқан кез келген екі ұяшықты алып, оларды келесідей қайта бояуға рұқсат етіледі: қара ұяшықтарды — жасылға, жасылды — аққа, ақты — қараға. Осындай операциялармен <<қарсы>> шахматтық ақ және қара бояуын алу үшін, ең аз дегенде неше операция қажет?
комментарий/решение(3)

Есеп №4. Қарама-қарсы қабырғалар жұптары параллель болатын, бірақ кез келген қарама-қарсы қабырға жұбындағы екі қабырғаның ешқайсысын бір мезгілде оларға перпендикуляр түзумен қиып өте алмайтындай етіп, жазықтықта алтыбұрыш фирурасын салуға болады ма? (Алтыбұрыш дөңес болуы міндетті емес. Қабырға перпендикуляр түзумен қиылысқанда, қиылысу қатаң түрде қабырғаның ішкі нүктесінде болуы керек.)
комментарий/решение

Есеп №5. 4003 таңбалы $\overline{aa\ldots aabcc\ldots cc}$ саны 239-ға бөлінетіні белгілі (мұнда $a$ және $c$ цифрлары 2001 реттен кездеседі). $b=a+c$ екенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(3)