6-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 6 класс, 3 тур

Задача №1. В мешке лежат 127 конфеты. Боб и Алиса берут из мешка по очереди конфеты от 1 до 10. Когда разобраны все конфеты, игроки подсчитывают, сколько каждый из них набрал конфет. Если эти числа являются взаимно простыми, побеждает игрок Алиса. В противном случае побеждает игрок Боб. Кто выиграет в этой игре? (Два целых числа

$a$ и

$b$ называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен единице, то есть,

$\text{НОД}(a, b)=1$ .)
комментарий/решение(1)

Задача №2. Сколькими способами в клетки таблицы

$3 \times 3$ можно записать натуральные числа так, чтобы произведение чисел в любой строке и в любом столбце равнялись 27?
комментарий/решение

Задача №3. Клетки черно-белой доски

$12 \times 12$ раскрашены в шахматном порядке. Разрешается взять любые две соседние по стороне клетки и перекрасить их: черные клетки — в зеленый цвет, зеленые — в белый, белые — в черный. Какое наименьшее число таких операций потребуется, чтобы получить <<противоположную>> бело-черную шахматную раскраску?
комментарий/решение(3)

Задача №4. Можно ли нарисовать на плоскости (не обязательно выпуклый) шестиугольник, у которого пары противоположных сторон параллельны, но никакие две противоположные стороны нельзя одновременно пересечь перпендикулярной им прямой? (Пересечение стороны должно быть строго во внутренней точке стороны.)
комментарий/решение

Задача №5. Известно, что 4003-значное число

$\overline{aa\ldots aabcc\ldots cc}$ делится на 239 (здесь цифры

$a$ и

$c$ встречаются по 2001 раз). Докажите, что

$b=a+c$ .
комментарий/решение(3)