6-я олимпиада им. Шалтая Смагулова, 7 класс, 1 тур

Найдите наибольшее число $p$ такое, что все числа $p$, $\frac{p+1}{2}$, $\frac{p+2}{5}$ являются простыми.

Комментарий/решение

$\dfrac{p+2}{5} \Rightarrow p+2 \equiv 0 \pmod {5} \Rightarrow p=5k+3$

$\dfrac{5k+3+1}{2} \Rightarrow 5k+4 \equiv k \equiv 0 \pmod {2} \Rightarrow k=2m \Rightarrow p=10m+3$

$10m+3 \equiv m \pmod {3}$

$\dfrac{10m+3+1}{2}=5m+2; 5m+2 \equiv 2-m \pmod {3}$

$\dfrac{10m+3+2}{5}=2m+1; 2m+1 \equiv 1-m \pmod {3}$

если $m \equiv 0 \pmod {3} \Rightarrow 10m+3 \equiv 0 \pmod {3} \Rightarrow 10m+3=3 \Rightarrow m=0 \Rightarrow p=3 \Rightarrow \dfrac{3+2}{5}=1$ противоречие

если $m \equiv 1 \pmod {3} \Rightarrow 2m+1 \equiv 0 \pmod {3} \Rightarrow 2m+1=3 \Rightarrow m=1 \Rightarrow p=13$

если $m \equiv 2 \pmod {3} \Rightarrow 5m+2 \equiv 0 \pmod {3} \Rightarrow 5m+2=3 \Rightarrow 5m=1$ противоречие

Отв: 13